Explications des expressions avec la valeur absolue
| La valeur absolue d’un nombre ( x ), notée ( |
x |
), représente la distance de ( x ) à zéro sur la droite réelle, sans tenir compte de son signe. Par exemple : |
| - ( |
3 |
= 3 ), |
| - ( |
-3 |
= 3 ), |
| - ( |
0 |
= 0 ). |
| Ci-dessous, nous analysons deux expressions courantes impliquant la valeur absolue : ( |
a + b |
= |
a |
+ |
b |
) et ( |
|
a |
- |
b |
|
). |
1. Expression : ( |a + b| = |a| + |b| )
Cette égalité n’est pas toujours vraie. Elle ne tient que dans des cas particuliers.
Signification
-
| ( |
a + b |
) : Valeur absolue de la somme de ( a ) et ( b ), c’est-à-dire la distance de ( a + b ) à zéro. |
-
| ( |
a |
+ |
b |
) : Somme des valeurs absolues de ( a ) et ( b ), c’est-à-dire la somme des distances de ( a ) et ( b ) à zéro. |
Condition pour l’égalité
L’égalité ( |a + b| = |a| + |b| ) est vérifiée si :
- ( a ) et ( b ) ont le même signe (ou si l’un des deux est zéro).
- Exemples :
-
| Si ( a = 2 ), ( b = 3 ), alors ( |
2 + 3 |
= |
5 |
= 5 ), et ( |
2 |
+ |
3 |
= 2 + 3 = 5 ). L’égalité est vraie. |
-
| Si ( a = -2 ), ( b = -3 ), alors ( |
-2 + (-3) |
= |
-5 |
= 5 ), et ( |
-2 |
+ |
-3 |
= 2 + 3 = 5 ). L’égalité est vraie. |
- L’égalité est fausse si ( a ) et ( b ) ont des signes opposés :
-
| Si ( a = 2 ), ( b = -2 ), alors ( |
2 + (-2) |
= |
0 |
= 0 ), mais ( |
2 |
+ |
-2 |
= 2 + 2 = 4 ). Donc ( 0 \neq 4 ). |
Propriété générale
L’égalité ( |a + b| = |a| + |b| ) est un cas particulier de l’inégalité triangulaire :
[ |a + b| \leq |a| + |b| ]
L’égalité ne tient que lorsque ( a ) et ( b ) sont dans la même direction (même signe ou l’un est zéro).
2. Expression : ( ||a| - |b|| )
Cette expression représente la valeur absolue de la différence des valeurs absolues de ( a ) et ( b ).
Signification
-
| On calcule d’abord ( |
a |
) et ( |
b |
), qui sont les distances de ( a ) et ( b ) à zéro. |
-
| On prend la différence ( |
a |
- |
b |
). |
-
| Ensuite, on applique la valeur absolue à cette différence, ce qui donne ( |
|
a |
- |
b |
|
). |
-
| Résultat : ( |
|
a |
- |
b |
|
) est la distance entre les valeurs absolues de ( a ) et ( b ), toujours positive ou nulle. |
Exemples
-
| Si ( a = 5 ), ( b = 3 ), alors ( |
a |
= 5 ), ( |
b |
= 3 ), et ( |
|
a |
- |
b |
|
= |
5 - 3 |
= |
2 |
= 2 ). |
-
| Si ( a = -5 ), ( b = 3 ), alors ( |
a |
= 5 ), ( |
b |
= 3 ), et ( |
|
a |
- |
b |
|
= |
5 - 3 |
= |
2 |
= 2 ). |
-
| Si ( a = 3 ), ( b = 5 ), alors ( |
a |
= 3 ), ( |
b |
= 5 ), et ( |
|
a |
- |
b |
|
= |
3 - 5 |
= |
-2 |
= 2 ). |
Propriété utile
Une inégalité importante relie cette expression à la différence ( a - b ) :
[ ||a| - |b|| \leq |a - b| ]
Cela signifie que la distance entre les valeurs absolues de ( a ) et ( b ) est toujours inférieure ou égale à la valeur absolue de leur différence.
Conclusion
Les expressions de valeur absolue comme ( |a + b| = |a| + |b| ) et ( ||a| - |b|| ) ont des significations géométriques (distances) et des conditions spécifiques pour leur validité.